weasel의 우당탕탕 개발기

Hash Table은 내부적으로 배열을 사용하여 조회,삽입,삭제 모두 O(1)안에 수행하기 위한 특별한 자료구조다. 배열의 인덱스를 유일하게(혹은 그에 가깝게) 지정하기 위해서 데이터와 연관된 고유한 숫자를 만들어낸 후 그것을 인덱스로 사용한다.

또 일반적으로 순서를 보장하지 않기 때문에, 순서, 관계가 있는 목적에는 적합하지 않다.

Hash funciton

데이터에 연관된 고유한 값을 만들기 위해서 해시 함수를 사용한다. 이 해시 함수를 통해서 나온 결과값을 해시 값(혹은 해쉬 코드,해쉬)라고 하고 이것을 이용해 데이터에 대한 접근 연산을 수행한다.

가장 많이 쓰이는 해시 함수는 나머지 연산(modulo)를 이용한다. 키 k 를 어떤 정해진 수 D 로 나눈 나머지를 k 를 저장하는 버킷의 인덱스로 사용하는 것이다.
→ h(k)=k

일반적으로 D 는 적절히 큰 소수(prime number)를 사용하는데 이유는 다음과 같다.

만약 D를 소수가 아닌 값이라 하면, D의 모든 약수는 자신의 배수가 곧 키값이 된다. 해시충돌이 많이 일어나는것이다.

만약 이 해시 함수가 엄밀하지 못해서 여러개의 객체가 서로 같은 값을 가지게 된다면 이것을 해시 충돌(hash collision)이라고 한다.

일반적인 경우에서 가능한 키들의 집합을 U라고 하고, 버킷들의 개수를 m이라고 할때 U>>m인 경우가 대부분이므로 충돌은 필연적으로 발생한다. 이것을 해결하기 위해서 버킷의 사이즈를 단순히 키우는것은 좋은 해결책이 아니다. 메모리 사용량에서 치명적이다.

좋은 해시 함수를 고안해도, 여전히 해시 충돌은 불가피하다. 해시충돌이 늘어나게되면 O(1)의 시간복잡도 장점을 잃어버리고 O(n)에 가깝게 되니, 적절한 해결책을 세워야 한다.

Open Addressing

개방주소법(Open Addressing)은 간단히 말해서 해시충돌이 발생하면(계산된 인덱스로 접근한 버킷이 이미 사용중이면) 단순히 다른 인덱스에 데이터를 저장하는 방식이다.

개방주소법 안에서도 여러개로 나뉜다.

• Linear Probing
  • 계산된 해시값에서 해시충돌이 발생한다면, 고정폭만큼 건너뛰어 비어있는 해시에 저장하는 방법이다. 만약 그 자리에도 차있다면, 그 다음 고정폭의 위치를 탐색한다.
  • 이 방법은 단순해서 계산을 하기 쉽지만, 최악의 경우 탐색을 시작한 위치까지 돌아오게 되어 종료할 수 있다. O(n)이 걸리는 것이다.
  • 또 primary clustering이라는 특정 해쉬 값 슬롯 근처에 값들이 뭉치게 되는 문제도 생길 수 있다. x 라는 해쉬 값을 공유하는 객체들이 x+1,x+2,x+3 등으로 모이기 때문이다.
  • 클러스터의 크기가 커질수록, 비슷한 해쉬값들이 적절히 배치되지 못하고 다음을 probing하니 클러스터가 더 빠르게 자라나고*, 이는 성능적으로 이슈를 불러일으킨다.
  • 다만 값들이 클러스터링 되어있기 때문에 cache hit 적인 측면에서는 유리하다. 처음 키에 대해서 접근을 하면 다음 키도 캐쉬에 올라와 있기 때문이다.
• Quadratic Probing
  • Linear Probing과 비슷하게 , 해시충돌이 발생한다면 다음 슬롯을 찾는다. 다른 점은 idx=(hash(key)+i^2) mod m 의 꼴을 취하는 것이다.
  • 이 방법도 primary clustering보다는 덜 하지만 성능에 영향을 주는 secondary clustering 문제를 일으킨다.
  • 초기 hash 포지션이 아닌 좀 더 광범위하게 퍼져있는 것이다.
• Double hashing
  • 이름 그대로 해시 충돌이 생기면, 2차 해시함수를 이용해서 다시 해시를 하는 방법.
  • 값이 퍼지게 되어서 캐쉬의 측면에서는 비효율적이고 연산량이 많이 들지만, 클러스터링에는 큰 영향을 받지 않는다.

장점과 단점

이처럼 개방주소법 내에서도 여러가지 충돌 처리방식이 있다. 일반적으로 개방주소법은 적은 양의 데이터에는 효과를 보이고 메모리 효율도 분리연결법에 비해 상대적으로 좋고, 메모리 할당에 대한 오버헤드도 없는 편이다.

또 일반적으로 연결리스트를 사용하는 분리연결법에 비하여 캐쉬 효율이 좋기 때문에 (특히 Linear Probing) Python에서 hashtable을 구현할때 사용된다.

하지만 데이터의 삭제에서 좋지 않은 퍼포먼스를 보인다.
예를 들어 A,B,C 가 연속적으로 있을때(linear probing) A 를 삭제한다고 해보자. 그럼 NULL,B,C 라고 변경될텐데, 이때 C 에 대해서 조회를 한다면, NULL 을 만나게 된다. 이것을 원래부터 비어있는 공간인지 혹은 삭제되어서 비어있는 공간인지 알 수 없기 때문에 C 를 조회하지 못하고 탐색이 종료된다.
이를 극복하기 위해서 삭제된 공간은 삭제되었음을 표시해주는 DEL 같은 표기자를 사용해 다음 index를 조회할수 있게끔 해야한다.
물론 이러한 DEL 표시자가 늘어난다면, 조회할 데이터가 없어도 계속적인 탐색을 수행해줘야 하니 표시자의 개수에 따라 해시테이블 전체에 대해서 rehashing을 해줘야 한다.

load factor를 l이라고 하였을때 삽입과 조회, 삭제 모두 O(\frac{1}{1-l})의 성능을 보여준다.

Seperate Chaining

분리연결법(Separate Chaining)은 일반적인 상황에서 개방주소법보다는 빠른데, 개방주소법의 경우 load factor가 커질수록 최악의 경우( O(n))의 발생 빈도가 높아지기 때문이다.

분리연결법은 해시충돌이 잘 발생하지 않게끔 하기 위해서 보조 해시 함수를 이용해 최악의 경우로 가는 상황을 줄이려고 한다.

분리연결법에도 두가지 방법이 존재한다.

• Linked List
  • 각각의 버킷들을 연결리스트로 두어 충돌이 발생하면 해당 버킷의 리스트에 추가하는 방식.
  • 단, 연결리스트의 단점을 그대로 가지고 있다. 메모리 주소 상에서 연속적이지 않기 때문에 캐시의 효율이 나쁘고, 아주 적은 데이터가 있을때의 메모리 오버헤드가 있다.(개방주소법과 비교해서)
  • 또 Traverse를 할 때 최악의 경우에는 O(n)의 시간복잡도를 보인다.
• Tree
  • 연결리스트의 단점을 개선하기 위해 나온 것으로 연결리스트가 아닌 Tree 구조를 이용해 데이터를 저장한다.
  • 단, Tree에서도 데이터가 편향되게 들어오면 O(n)의 시간복잡도를 가질 수 있으니 Red-black Tree와 같은 Balanced Binary Tree를 사용함으로써 O(logn)의 연산을 보장시킨다.
  • 하지만 적은 데이터 수에서 RB Tree를 유지하는데 드는 메모리 사용량이 연결리스트보다 크니, 적은 수의 데이터보다는 어느정도 데이터가 들어왔을때 연결리스트에서 트리로 전환한다.
  • Java 8에서부터는 데이터가 8개가 넘어가면 트리로 전환하고, 6개가 되면 다시 연결리스트로 전환한다. 두개의 차이가 2가 나는 이유는 데이터의 잦은 삽입,삭제로 1개단위로 전환하게 되면 오버헤드가 더 크기 때문에 일정 수준을 유지하는것이다.
  • AVL 트리도 균형이진트리인데 사용하지 않는 이유는, 일반적으로 hashtable 같은 경우 데이터의 조회만 intensive하게 일어나지 않기 때문에, AVL 트리를 사용하면 rotation과 같은 balance를 유지하는데 드는 오버헤드가 너무 크다.
  • 이에 반해 RB 트리는 조금 더 느슨하게 균형을 유지함으로써 조회,삽입,삭제에 평균적으로 좋은 퍼포먼스를 보여주기 때문에 hashtable의 내부 자료구조로 사용되는 것이다.

장점과 단점

분리연결법은 load factor에 크게 민감하게 반응하지 않아도 된다. 일반적으로 개방주소법에서 load factor가 커지면 성능이 기하급수적으로 나빠지는것에 비해서
분리연결법은 조금 linear한 나쁜 성능을 보여준다.

또 개방주소법에서는 hash table의 resize가 필연적으로 일어나게 되는데, 이것은 O(m) , (m은 key의 개수)의 시간복잡도를 요구하니 꽤 치명적이다.
하지만 분리연결법에서는 하나의 버킷에 대해 지속적으로 사용하기 때문에 테이블의 확장이 개방주소법보다는 더디게 일어나는 편이다.

다만 일반적으로 개방주소법에서 버킷들의 캐시 효율이 좋은 반면 분리연결법은 링크드리스트나 트리를 이용하기에 캐시의 효율이 좋지 않다.

해시 테이블 자체의 단점

데이터가 pseudo-random 위치에 저장되기 때문에, 데이터를 정렬된 순서로 접근하는 것에 있어서 엄청난 비용이 발생한다. Self-balancing binary tree와 같은 자료구조에서는 O(logn)의 조회를 보장해 조금 느리고 구현이 더 복잡하지만 데이터는 정렬되어 있다.

또 데이터를 loop하면서 traverse하는 능력도 떨어지는데, 데이터가 흩뿌려질(산재된) 확률이 높은 해쉬테이블의 특성상 빈 슬롯도 모조리 체크해가면서 순회해야 하기 때문이다.

일반적으로 해시 테이블은 지역참조성에 취약한데, 해시 테이블의 조회 자체가 버킷들을 건너띄면서 확인하는 방식이기 때문이다. 그렇기에 프로세스가 계속해서 캐시 미스를 발생시키고 이는 오버헤드로 이어진다. 데이터가 적고 type이 간단한(Integer...) 경우에는 배열을 이용한 자료구조가 더 나은 성능을 보일 수 있다.

문제 상황

백준 빵집를 풀때 이상한 점이 확실히 생겼다. 일반적으로 python에서 방문 여부를 확인하기 위해 set과 list중에 하나를 사용한다.
set같은 경우는 잘못된 접근 같은 행동에서 안전한 편이고 대부분의 기능에서 O(1)의 시간이 보장된다고 알고 있기 때문에 set을 이용한 풀이를 종종했다.

List에서는 미숙한 코드로 indexError를 경험할 수 있다.

이 문제는 naive 하게 set을 사용하면 시간초과를 당한다. 처음엔 논리를 잘못 구성해 recursionDepth가 커져서 시간초과가 나는건가 라고 생각했지만 논리에는 문제가 없었다. 그래서 set만을 list로 바꿔주었더니 통과했다.

분명 lookup도 똑같이 O(1)이고 set에서는 add도 O(1)이라고 알고 있는데 왜 차이가 나는 것일까? 이 이해 안되는 상황을 지금부터 알아보자.

메모리 사용량

먼저 간단하게 두 자료구조의 메모리 사용량을 비교해보았다.

아래 코드는 10000개의 행 , 500개의 열을 가진 2차원 board에서 사용되는 방문을 기록하는 일반적인 구현이다.

하나는 List로 하나는 set으로 구현한 뒤 sys.getsizeof(object)를 이용해서 각각의 객체의 메모리 사용량을 체크해보았다.

getsizeof(object [, default]) -> int : Return the size of object in bytes.

R=10000 # ROW
C=500    # COL

a=[[True for _ in range(R)] for _ in range(500)]
sys.getsizeof(a)
>>> 4264

b=set()
for i in range(R):
    for j in range(C):
        b.add((i,j))
sys.getsizeof(b)
>>> 134217944

놀라운 결과다. 같은 기능을 수행하는 서로 다른 자료구조인데 메모리차이가 대략 31,000배 정도의 차이를 보였다.

list는 4264 Byte, set은 134217944 Byte를 사용한다. 대략적으로 두 자료구조는 각각 4KB,134MB을 사용한다는 것이다.

List와 Set의 내부구조

왜 이렇게 차이가 나는 것일까?

list와 set이 내부적으로 데이터를 저장하는 방식에서 차이가 있어서 그렇다. stackoverflow의 한 답변에 따르면

List

List는 그저 원래의 객체들에 대한 참조를 모아놓은것에 불과하다. 만약 1000개의 integer를 만든다고 하면 , 그것들이 만들어지고 list는 오직 그 integer들에 대한 참조만을 담고 있다.

list는 참조들의 collection이고 일종의 주솟값을 가지고 있는것이다. 그렇기에 아래와 같은 코드를 수행해도 여전히 4264 Byte다.

c= [[[1,2,3] for _ in range(10000)] for _ in range(500)]
sys.getsizeof(c)
>>> 4264

list가 세번 중첩되어 있지만 [1,2,3]에 대한 참조만을 가지고 있기 때문에 메모리 사용량이 같은 것이다.

내부적으로는 dynamic array를 사용하고 있다.

Set

반대로 set은 어떨까? Python에서의 set은 내부적으로 key가 dummy value인 dict 를 상당 부분 재사용함으로써 hash table 의 구조를 가지고 있다.

여전히 위의 같은 답변을 참고하자면

반면에, set이나 dictionary는 1000개의 integer들의 hash value를 모두 계산해야하고 그에 따라 메모리 사용량이 증가한다.

예를 들어 set이나 dict나 가장 작은 크기의 기본값은 8이다.(즉, 오직 3개의 값만 저장한다해도 python은 8개를 지정해준다.) resize를 할때, buckets들의 개수는 요소가 50,000개가 되기 전까지는 4배씩 증가한다. 그런 다음에는 2배씩 증가한다.

Set에서의 resize

과연 정말 그렇게 작동할까? resize는 set에 일반적으로 값을 추가할 때 호출되기 때문에 add를 할때 호출되는 CPython의 set의 set_add_entry의 구현 코드를 직접 보자.

/* CPython */
/* https://github.com/python/cpython/blob/main/Objects/setobject.c */ 
static int
set_add_entry(PySetObject *so, PyObject *key, Py_hash_t hash)
...
...
  found_unused:
    so->fill++;
    so->used++;
    entry->key = key;
    entry->hash = hash;
    if ((size_t)so->fill*5 < mask*3)
        return 0;
    return set_table_resize(so, so->used>50000 ? so->used*2 : so->used*4);

...
...

위의 코드에서 load factor가 일정 부분(아래서 다시 언급할 것이다.)을 넘어갈때를 보자.
(if ((size_t)so->fill*5 < mask*3) 의 아랫부분이다.)
so(set object)의 크기에 따라 set_table_resize의 인자를 다르게 주고 있음이 보인다.

** Load factor ** : Hash table 전체에서 얼마나 원소가 차 있는지를 나타내는 수치.
m개의 bucket의 Hash tablen에 n개의 원소가 저장되어 있다면 load_factor = n/m 이다

so->used가 50,000이 넘어가면 현재 used의 2배를, 그렇지 않으면 4배만큼 큰 값으로 resize를 하는 것이다.

여기서 mask는 hash_table의 크기보다 1 작다. modulo의 역할처럼 hash에 쓰이는데 AND 연산을 이용한다.

resize의 내부동작 방식

이제 set_table_resize가 내부적으로 어떻게 동작하는지를 살펴보자.

요약하자면 set_table_resize는 hash table의 구조를 가지는 setentry 구조체를 기존 oldtable의 2배 혹은 4배의 크기인 newtable이라는 이름으로 동적할당 받은 후 oldtable의 모든 entry들을 newtable에 넣어주는 과정을 거친다.

typedef struct {
    PyObject *key;
    Py_hash_t hash;             /* Cached hash code of the key */
} setentry;

이해가 안가도 당황하지 마세요... 아래서 차근차근 설명해줄거에요...😅

단계별로 살펴보자. 아래 코드부터다.

/* CPython */
/* https://github.com/python/cpython/blob/main/Objects/setobject.c */ 
static int
set_table_resize(PySetObject *so, Py_ssize_t minused)
{
    setentry *oldtable, *newtable, *entry;
    ...
    /* Find the smallest table size > minused. */
    /* XXX speed-up with intrinsics */
    size_t newsize = PySet_MINSIZE;
    while (newsize <= (size_t)minused) {
        newsize <<= 1; // The largest possible value is PY_SSIZE_T_MAX + 1.
    }

일단, newtable의 크기를 정해야 한다. set_table_resize의 두번째 인자만큼
newsize를 left shift를 사용해 Pyset_MINSIZE에서 minused만큼 증가시킨다.
(PySet_MINSIZE는 위에 언급한 것처럼 8이다.)

/* CPython */
/* https://github.com/python/cpython/blob/main/Objects/setobject.c */
    ...
    /* Get space for a new table. */

    if (newsize == PySet_MINSIZE) {
        ...
        /* A large table is shrinking, or we can't get any smaller. */
        ...
        ...
        }
    }
    else {
        newtable = PyMem_NEW(setentry, newsize);
        if (newtable == NULL) {
            PyErr_NoMemory();
            return -1;
        }
    }

newsize가 PySet_MINSIZE(8)가 아닐때, PyMem_New(type,n)를 통해서 위에서 계산된 newsize의 크기만큼 setentry의 객체를 생성하는 것이다.

좀 더 엄밀하게 얘기하면 PyMem_new(type,n)는 PyMem_Malloc(n)를 이용해서 (n)*sizeof(type) Byte만큼의 메모리를 동적할당(malloc) 하는 macro다. (cpython/include/pymem.h 참조)

이제 거의 다 왔다. oldtable들의 값들을 newtable에 옮겨주기만 하면 된다.

/* CPython */
/* https://github.com/python/cpython/blob/main/Objects/setobject.c */
    ...
    so->mask = newsize - 1;
    so->table = newtable;
    ...

hashing에 필요한 mask 값을 갱신해주고 (modulo와 비슷한 역할을 한다. 다만 AND 연산자를 사용할뿐이다.)

/* CPython */
/* https://github.com/python/cpython/blob/main/Objects/setobject.c */
    /* Copy the data over; this is refcount-neutral for active entries;
       dummy entries aren't copied over, of course */
    newmask = (size_t)so->mask;
    if (so->fill == so->used) {
        for (entry = oldtable; entry <= oldtable + oldmask; entry++) {
            if (entry->key != NULL) {
                set_insert_clean(newtable, newmask, entry->key, entry->hash);
            }
        }
    } else {
        so->fill = so->used;
        for (entry = oldtable; entry <= oldtable + oldmask; entry++) {
            if (entry->key != NULL && entry->key != dummy) {
                set_insert_clean(newtable, newmask, entry->key, entry->hash);
            }
        }
    }

newmask 를 이용해서 oldtable안의 기존의 값들을 newtable에 set_insert_clean을 이용해 넣어준다.

** 이런 복잡한 과정들을 거쳐서 set에서 resize가 진행되는 것이다. **

그래서 얼마나 걸리는데?

b=set()
for i in range(R):
    for j in range(C):
        b.add((i,j))

위 문제에선 set이 최대 몇 번 resize를 할까? resize 전 후로 b의 메모리 크기가 달라지니 아래와 같은 코드로 확인 할 수 있다.

resize_count=0
prev=cur_size=sys.getsizeof(b)

for i in range(R):
    for j in range(C):
        b.add((i,j))
        if prev!=sys.getsizeof(b):
            prev=cur_size
            resize_count+=1

print(resize_count)
>>>13

13번 resize를 한다. 그럼 그때마다 내부 구조인 hash table의 bucket은 언제 , 그리고 얼만큼 늘어날까?

Set의 load factor

아래와 같은 코드로 확인 할 수 있다.

element_count=0
prev=cur_size=sys.getsizeof(b)

for i in range(R):
    for j in range(C):
        s=time.time()
        b.add((i,j))
        element_count+=1
        if prev!=sys.getsizeof(b):
            cur_size=sys.getsizeof(b)
            print("resize at "+str(element_count))
            prev=cur_size

>>>
resize at 5
resize at 19
resize at 77
resize at 307
resize at 1229
resize at 4915
resize at 19661
resize at 78643
resize at 157286
resize at 314573
resize at 629145
resize at 1258291
resize at 2516582

1. 처음 bucket의 크기는 8이니 5/8만큼 찼을때 늘어난다.
2. 19/32만큼 찼을때 늘어난다.
3. 77/128만큼 찼을때 늘어난다.
   ...

이걸 바탕으로 우린 위에서 언급한 load factor를 계산 할 수 있는데, 미리 계산해왔다. 😅
대략 0.6에 근접하면 resize가 호출된다.

** Python에서, 최소한 CPython의 set의 load factor는 0.6에 근접하는것 같다.**

직접 계산 해보면 hash table의 bucket의 크기는 8->32->128->...->32768->131072->262144->...->4194304 순으로 늘어난다. ** 정말 50,000을 넘어서부터는 4배가 아니라 2배씩 늘고 있다.**

아까 위에서 언급한 resize를 할지 말지 결정하는 부분을 다시 한번 보자.

    if ( (size_t)so->fill*5 < mask*3)
        return 0;
    return set_table_resize(so, so->used>50000 ? so->used*2 : so->used*4);

mask는 size보다 1 작은 값이니 bucket의 size-1로 바꿔쓸 수 있다.. 식을 보기 좋게 살짝 정리해보자.

    if ( (so->fill) < (size-1) * 0.6 )
        return 0;
    return set_table_resize(so, so->used>50000 ? so->used*2 : so->used*4);

해석해보자. size-1개의 bucket들 중에서

• 60%보다 덜 차있다면, resize를 진행하지 않고 add 함수를 종료한다.
• 60%보다 더 차있다면 resize를 진행한다.

** 최소한 CPython의 set의 load factor는 0.6에 아주 근사하다고 말할 수 있게 된 것이다.**

결론

우리는 긴 과정을 거쳐서 set이 add를 할 때 사실은 resize를 할 때가 있기 때문에 Overhead를 동반한다는 것을 알게 되었다.

그렇기에 아주 naive하게 set의 add가 O(1)이라는 건 엄밀하지 않다. add하는 과정에서 resize를 호출할때가 있고 , 그 과정에서 현재 element의 약 60% 개의 element들을 옮겨야 하니 , amortized O(1)이다.

우리가 이 상황을 왜 분석했을까? BFS 탐색 문제를 푸는데 시간초과가 나서이다.

그 원인은 add를 반복할때 resize에 있다는 것을 확실하게 알 수 있다.

그럼 어떻게?

List도 index 기반 접근을 하기 때문에 lookup에 대한 시간이 O(1)이다. 또 List를 처음 선언할때 메모리를 할당해주기 때문에, append를 쓰지 않는다면, resize가 필요하지 않다.

List도 내부 구조는 dynamic array이기 때문에 resize가 발생할 수 있다. append도 amortized O(1)인 이유가 있다.

정말 특수한 상황을 제외하고는 List를 사용하는게 의문의 시간 초과 오류를 보지 않는 방법이다.

경험상 특수한 상황은 탐색에서 조건적으로 매우 크고 sparse한 범위의 방문을 할 때다.

모든 코드는 Python 3.8.10 [GCC 9.4.0] on linux 버전을 사용했습니다

참고자료

CPython Source Code
Python 메모리 관리 공식문서
Memory consumption of a list and set in Python
Load Factor and Rehashing
Time complexity for adding elements to list vs set in python

내부적으로 배열을 사용하여 조회,삽입,삭제 모두 O(1)안에 수행하기 위한 특별한 자료구조다. 배열의 인덱스를 유일하게(혹은 그에 가깝게) 지정하기 위해서 데이터와 연관된 고유한 숫자를 만들어낸 후 그것을 인덱스로 사용한다.

또 일반적으로 순서를 보장하지 않기 때문에, 순서, 관계가 있는 목적에는 적합하지 않다.

Hash function

데이터에 연관된 고유한 값을 만들기 위해서 해시 함수를 사용한다. 이 해시 함수를 통해서 나온 결과값을 해시 값(혹은 해쉬 코드,해쉬)라고 하고 이것을 이용해 데이터에 대한 접근 연산을 수행한다.

가장 많이 쓰이는 해시 함수는 나머지 연산(modulo)를 이용한다. 키 k 를 어떤 정해진 수 D 로 나눈 나머지를 k 를 저장하는 버킷의 인덱스로 사용하는 것이다.
→ h(k)=k

일반적으로 D 는 적절히 큰 소수(prime number)를 사용하는데 이유는 다음과 같다.

만약 D를 소수가 아닌 값이라 하면, D의 모든 약수는 자신의 배수가 곧 키값이 된다. 해시충돌이 많이 일어나는것이다.

만약 이 해시 함수가 엄밀하지 못해서 여러개의 객체가 서로 같은 값을 가지게 된다면 이것을 해시 충돌(hash collision)이라고 한다.

일반적인 경우에서 가능한 키들의 집합을 U라고 하고, 버킷들의 개수를 m이라고 할때 U>>m인 경우가 대부분이므로 충돌은 필연적으로 발생한다. 이것을 해결하기 위해서 버킷의 사이즈를 단순히 키우는것은 좋은 해결책이 아니다. 메모리 사용량에서 치명적이다.

좋은 해시 함수를 고안해도, 여전히 해시 충돌은 불가피하다. 해시충돌이 늘어나게되면 O(1)의 시간복잡도 장점을 잃어버리고 O(n)에 가깝게 되니, 적절한 해결책을 세워야 한다.

Open Addressing

개방주소법(Open Addressing)은 간단히 말해서 해시충돌이 발생하면(계산된 인덱스로 접근한 버킷이 이미 사용중이면) 단순히 다른 인덱스에 데이터를 저장하는 방식이다.

개방주소법 안에서도 여러개로 나뉜다.

• Linear Probing
  • 계산된 해시값에서 해시충돌이 발생한다면, 고정폭만큼 건너뛰어 비어있는 해시에 저장하는 방법이다. 만약 그 자리에도 차있다면, 그 다음 고정폭의 위치를 탐색한다.
  • 이 방법은 단순해서 계산을 하기 쉽지만, 최악의 경우 탐색을 시작한 위치까지 돌아오게 되어 종료할 수 있다. O(n)이 걸리는 것이다.
  • 또 primary clustering이라는 특정 해쉬 값 슬롯 근처에 값들이 뭉치게 되는 문제도 생길 수 있다. x 라는 해쉬 값을 공유하는 객체들이 x+1,x+2,x+3 등으로 모이기 때문이다.
  • 클러스터의 크기가 커질수록, 비슷한 해쉬값들이 적절히 배치되지 못하고 다음을 probing하니 클러스터가 더 빠르게 자라나고*, 이는 성능적으로 이슈를 불러일으킨다.
  • 다만 값들이 클러스터링 되어있기 때문에 cache hit 적인 측면에서는 유리하다. 처음 키에 대해서 접근을 하면 다음 키도 캐쉬에 올라와 있기 때문이다.
• Quadratic Probing
  • Linear Probing과 비슷하게 , 해시충돌이 발생한다면 다음 슬롯을 찾는다. 다른 점은 idx=(hash(key)+i^2) mod m 의 꼴을 취하는 것이다.
  • 이 방법도 primary clustering보다는 덜 하지만 성능에 영향을 주는 secondary clustering 문제를 일으킨다.
  • 초기 hash 포지션이 아닌 좀 더 광범위하게 퍼져있는 것이다.
• Double hashing
  • 이름 그대로 해시 충돌이 생기면, 2차 해시함수를 이용해서 다시 해시를 하는 방법.
  • 값이 퍼지게 되어서 캐쉬의 측면에서는 비효율적이고 연산량이 많이 들지만, 클러스터링에는 큰 영향을 받지 않는다.

장점과 단점

이처럼 개방주소법 내에서도 여러가지 충돌 처리방식이 있다. 일반적으로 개방주소법은 적은 양의 데이터에는 효과를 보이고 메모리 효율도 분리연결법에 비해 상대적으로 좋고, 메모리 할당에 대한 오버헤드도 없는 편이다.

또 일반적으로 연결리스트를 사용하는 분리연결법에 비하여 캐쉬 효율이 좋기 때문에 (특히 Linear Probing) Python에서 hashtable을 구현할때 사용된다.

하지만 데이터의 삭제에서 좋지 않은 퍼포먼스를 보인다.
예를 들어 A,B,C 가 연속적으로 있을때(linear probing) A 를 삭제한다고 해보자. 그럼 NULL,B,C 라고 변경될텐데, 이때 C 에 대해서 조회를 한다면, NULL 을 만나게 된다. 이것을 원래부터 비어있는 공간인지 혹은 삭제되어서 비어있는 공간인지 알 수 없기 때문에 C 를 조회하지 못하고 탐색이 종료된다.
이를 극복하기 위해서 삭제된 공간은 삭제되었음을 표시해주는 DEL 같은 표기자를 사용해 다음 index를 조회할수 있게끔 해야한다.
물론 이러한 DEL 표시자가 늘어난다면, 조회할 데이터가 없어도 계속적인 탐색을 수행해줘야 하니 표시자의 개수에 따라 해시테이블 전체에 대해서 rehashing을 해줘야 한다.

load factor를 l이라고 하였을때 삽입과 조회, 삭제 모두 O(\frac{1}{1-l})의 성능을 보여준다.

Seperate Chaining

분리연결법(Separate Chaining)은 일반적인 상황에서 개방주소법보다는 빠른데, 개방주소법의 경우 load factor가 커질수록 최악의 경우( O(n))의 발생 빈도가 높아지기 때문이다.

분리연결법은 해시충돌이 잘 발생하지 않게끔 하기 위해서 보조 해시 함수를 이용해 최악의 경우로 가는 상황을 줄이려고 한다.

분리연결법에도 두가지 방법이 존재한다.

• Linked List
  • 각각의 버킷들을 연결리스트로 두어 충돌이 발생하면 해당 버킷의 리스트에 추가하는 방식.
  • 단, 연결리스트의 단점을 그대로 가지고 있다. 메모리 주소 상에서 연속적이지 않기 때문에 캐시의 효율이 나쁘고, 아주 적은 데이터가 있을때의 메모리 오버헤드가 있다.(개방주소법과 비교해서)
  • 또 Traverse를 할 때 최악의 경우에는 O(n)의 시간복잡도를 보인다.
• Tree
  • 연결리스트의 단점을 개선하기 위해 나온 것으로 연결리스트가 아닌 Tree 구조를 이용해 데이터를 저장한다.
  • 단, Tree에서도 데이터가 편향되게 들어오면 O(n)의 시간복잡도를 가질 수 있으니 Red-black Tree와 같은 Balanced Binary Tree를 사용함으로써 O(logn)의 연산을 보장시킨다.
  • 하지만 적은 데이터 수에서 RB Tree를 유지하는데 드는 메모리 사용량이 연결리스트보다 크니, 적은 수의 데이터보다는 어느정도 데이터가 들어왔을때 연결리스트에서 트리로 전환한다.
  • Java 8에서부터는 데이터가 8개가 넘어가면 트리로 전환하고, 6개가 되면 다시 연결리스트로 전환한다. 두개의 차이가 2가 나는 이유는 데이터의 잦은 삽입,삭제로 1개단위로 전환하게 되면 오버헤드가 더 크기 때문에 일정 수준을 유지하는것이다.
  • AVL 트리도 균형이진트리인데 사용하지 않는 이유는, 일반적으로 hashtable 같은 경우 데이터의 조회만 intensive하게 일어나지 않기 때문에, AVL 트리를 사용하면 rotation과 같은 balance를 유지하는데 드는 오버헤드가 너무 크다.
  • 이에 반해 RB 트리는 조금 더 느슨하게 균형을 유지함으로써 조회,삽입,삭제에 평균적으로 좋은 퍼포먼스를 보여주기 때문에 hashtable의 내부 자료구조로 사용되는 것이다.

장점과 단점

분리연결법은 load factor에 크게 민감하게 반응하지 않아도 된다. 일반적으로 개방주소법에서 load factor가 커지면 성능이 기하급수적으로 나빠지는것에 비해서
분리연결법은 조금 linear한 나쁜 성능을 보여준다.

또 개방주소법에서는 hash table의 resize가 필연적으로 일어나게 되는데, 이것은 O(m) , (m은 key의 개수)의 시간복잡도를 요구하니 꽤 치명적이다.
하지만 분리연결법에서는 하나의 버킷에 대해 지속적으로 사용하기 때문에 테이블의 확장이 개방주소법보다는 더디게 일어나는 편이다.

다만 일반적으로 개방주소법에서 버킷들의 캐시 효율이 좋은 반면 분리연결법은 링크드리스트나 트리를 이용하기에 캐시의 효율이 좋지 않다.

해시 테이블 자체의 단점

데이터가 pseudo-random 위치에 저장되기 때문에, 데이터를 정렬된 순서로 접근하는 것에 있어서 엄청난 비용이 발생한다. Self-balancing binary tree와 같은 자료구조에서는 O(logn)의 조회를 보장해 조금 느리고 구현이 더 복잡하지만 데이터는 정렬되어 있다.

또 데이터를 loop하면서 traverse하는 능력도 떨어지는데, 데이터가 흩뿌려질(산재된) 확률이 높은 해쉬테이블의 특성상 빈 슬롯도 모조리 체크해가면서 순회해야 하기 때문이다.

일반적으로 해시 테이블은 지역참조성에 취약한데, 해시 테이블의 조회 자체가 버킷들을 건너띄면서 확인하는 방식이기 때문이다. 그렇기에 프로세스가 계속해서 캐시 미스를 발생시키고 이는 오버헤드로 이어진다. 데이터가 적고 type이 간단한(Integer...) 경우에는 배열을 이용한 자료구조가 더 나은 성능을 보일 수 있다.